11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 100 Cevapları
Soru 6: Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgen Önermesi ve Fatih Sondaj Gemisi Modeli:
Soru: Köşegenleri dik kesişen bir $ABCD$ dörtgeninde karşılıklı kenarların kareleri toplamının eşit olduğunu ($a^2 + c^2 = b^2 + d^2$) gösteriniz.
İşlem ve İspat Adımları:
1. Köşegenlerin kesim noktası $O$ olsun. $OA = x$, $OB = y$, $OC = z$, $OD = t$ diyelim.
2. Dik kesişen $AOB, BOC, COD, DOA$ dik üçgenlerinde Pisagor teoremleri yazılır:
– $AB^2 = x^2 + y^2 = a^2$
– $BC^2 = y^2 + z^2 = b^2$
– $CD^2 = z^2 + t^2 = c^2$
– $DA^2 = t^2 + x^2 = d^2$
3. Taraf tarafa toplayalım:
$$a^2 + c^2 = (x^2 + y^2) + (z^2 + t^2) = x^2 + y^2 + z^2 + t^2$$
$$b^2 + d^2 = (y^2 + z^2) + (t^2 + x^2) = x^2 + y^2 + z^2 + t^2$$
4. $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$ olduğu ispatlanmış olur.